内包と外延

内包と外延について個人的に整理。

内包と外延

内包…ある物事が共通して持つ性質

外延…内包があてはまる具体例

数学の集合でも内包的定義と、外延的定義がある。

内包的な定義

U=(x|xは偶数)

みたいな、当てはまるルールを記述する。

外延的な定義

U=(2,4,6,8…)

みたいな、具体例を挙げる感じ。

この２つの概念の元となってるのが、

フレーゲって人が考えた意義(Sinn)と意味(Bedeutung)。

意義が内包で、

意味が外延

明けの明星と宵の明星

なんでフレーゲがこんなこと考えるに至ったのか。

よくこういう説明をされる。

明けの明星、宵の明星をご存知だろうか。

明け方の東の空に一際輝いて見える星。それが明けの明星。

でこれの正体は金星。

で、

夕方の西の空にまたしても一際輝いて見える星。これが宵の明星。

でこれの正体は金星。

おんなじ星が違う時間帯に現れてて、それぞれ呼び方が違う。

昔は明けの明星と宵の明星は別物だと思ってたから。

でも天文学が発展してきて、どうやら明けの明星と宵の明星は一緒らしいと分かった。

で、ここで問題が生じた。

「明けの明星」という言葉と「宵の明星」という言葉は等しいの？？

もし等しいなら、

明けの明星　＝　明けの明星　　　　　（Ａ）

から、

明けの明星　＝　宵の明星　　　　　　（Ｂ）　　　

が言えそう。で（A）=（B）も成り立ちそう。

当たり前じゃん。って思う人もいると思うけど、ちょっと立ち止まって考えて欲しい。

（Ａ）と（B）だと情報量が全然違う。

(A)は明らかにトートロジーだ。新しいこと何も言ってない。

でも（B）は、こんな天文学的な発見があったんだ！！っていう。

そこでフレーゲは、

（Ａ）と（Ｂ）の意味は一緒だけど、意義は違うよね。

って考えた。

（Ａ）を二通りに書き換えてみる。意義のレベルと意味のレベルで

明けの明星　＝　明けの明星　　(A)

↓

明け方の東の空に一際輝いて見える星　＝　明け方の東の空に一際輝いて見える星　　(意義のレベル)

と

金星　＝　金星　　　　(意味のレベル)

じゃあ今度は(B)

明けの明星　＝　宵の明星　　　　　　（Ｂ）

↓

明け方の東の空に一際輝いて見える星　＝　夕方の西の空に一際輝いて見える星　　(意義のレベル)

と

金星　＝　金星　　　　(意味のレベル)

つまり、(A)と(B)は意義のレベルで考えたら、すごい発見だよねってなる。

だけど、まあ意味としては同じことを言ってた。

っていう風にフレーゲは考えた。

おーーーうまいこと考えたなーーと。

まとめ

で、何が言いたかったかっていうと、

内包=意義で外延=意味ってことよ。